圓周率π無所不在,從古至今,人們對它的值充滿了好奇。德國數學史家康托認為圓周率的精確程度代表著數學發展的水平,跟隨著它,也能看到人類的數學發展史。
最近美國專門介紹太空新聞與知識的太空網(www.space.com)在討論一個問題:人類如何把自己介紹給外星人?有人建議圓周率π值是不錯的選擇。為什麼呢?透過π值,我們可以向外星人透露什麼訊息?
對大多數人而言,圓周率π沒有太大的意義,然而,任何與圓、球有關的東西,諸如瞳孔、露珠、車輪、月球等,卻都離不了圓周率,也許正因為它的無所不在,從古至今,總有數學家不放棄對它的追尋。
舊約聖經裡的π
人類對圓周率π的認識,最早應該是從圓面積而來。台灣師範大學數學系教授洪萬生表示,若只是畫圓,不需知道直徑與圓周的關係,也能利用類似圓規的工具畫出正圓;但計算圓面積時,必須考慮周長,數學家才由此發現:任意畫圓,圓周長大約都是直徑的三倍。
圓周長約為直徑三倍的記錄,最早可追溯到公元前約950年的《舊約聖經‧列王紀》,它提到所羅門王建宮殿時,鑄了一個「高5肘(單位名),直徑10肘,圍30肘」的圓柱形容器,可見當時已經明確知道圓周長約是直徑的三倍。
更早的古埃及人也出現了一份有關圓的資料,在阿美斯(Ahmes)的紙草文件(約1650年前)上,有一道題目是「求直徑為9khet(1khet≒50公尺)的圓面積」。當時古埃及人的計算方式如下:
扣除直徑的1/9,亦即減去1khet,剩下8khet,8自乘得64,即為所求答案。
換言之,古埃及人的計算方式是把圓面積改以正方形計算,邊長取直徑之8/9,就是答案。至於怎麼求出此算法,至今仍是謎。這與正確的圓面積63.6174(半徑r=4.5,圓面積=πr2)相比,答案已經相當接近。
π為常數
知道圓周長約是直徑的三倍與π為常數,是兩個完全不同的概念,因為在未證明π是常數之前,並不能斷言圓周長與直徑的比值不會隨著圓的大小而改變。目前留下來的數學文本中,最早觸及π為常數的,是公元前300年的古希臘數學家歐幾里得(Euclid ,約公元前330~260年),在他的《幾何原本》(Elements)中,證明了兩個圓面積的比就相當於直徑平方之比。
假設兩圓面積S、S’,其直徑分別為d與d’,則
S:S’=d2:d'2
以現代的數學知識來看,上式可以寫成S/d2=S/d'2,也就是任何圓的S/d2均為定值,就可推得π為常數;然而,受當時知識的局限,歐基里得並不確定S:d2是否可以寫成S/d2,而且他也沒有提到圓面積究竟如何計算,因此我們也不能確定歐幾里得證明了π是定值。
不過有一點可以肯定的,比歐基里得稍晚的古希臘科學家阿基米德(Archimedes,公元前287~212年)已經知道S:d2可寫為比值S/d2,也證明圓面積公式為半周長乘半徑,因此他清楚知道圓周長與直徑的比是常數,也開始求π的近似值(π為常數乃是求近似值的必要前提,因為若π不是常數,就沒有近似值可言)。
以「窮盡法」求π的近似值
阿基米德估計π的近似值時,是採用「窮盡法」(method of exhaustion)慢慢逼近圓周長。根據「內接正n邊形的周長小於圓周,外切正n邊形的周長大於圓周」,若使n任意大,則兩個正多邊形的周長會接近圓,而圓周率就介於兩者之間。阿基米德從正六邊形出發(如下圖),先個別計算內接正六邊形與外切正六邊形的周長與圓的直徑的比值,再計算正12邊形的周長與圓的直徑的比值,然後逐次加倍邊數,計算至96邊時,即得圓周率的近似值為:
3 10/71<π<3 1/7 (3 10/70)
改寫成小數形式,可得:
3.14084<π<3.142858
由此可知,阿基米德求得的π值只精確到小數點第二位。到了公元1596年,荷蘭數學家萬科倫(Ludolph Van Ceulen,公元1540~1610年)採用阿基米德的方法,從正六60邊形出發,計算到正60×229邊形,得出有32位小數的圓周率;1610年,他再次向正262邊形挑戰,求出35位小數的π值。
挑戰π永遠除不盡的神話?
儘管1761年德國數學家朗伯特已經證明π是無理數,但還是有人宣稱它是可以被計算出來。台灣師範大學數學系教授洪萬生說,19世紀美國印第安納州有個名叫古德溫(Edwin J. Goodwin)的醫生,宣稱自己從上帝那邊學到計算圓周率的方式,並且有了答案。不可思議的是,他成功遊說該州下議會議員將它提案為第246號法條,內容是將他計算的圓周率定為法定值,除了該州公民有權使用古德溫的「發現」,其他州必須付版稅。
由於當時沒有任何一位州議員了解法案的數學內容是什麼,州議會便以67比0無異議通過。有趣的是,當時法案還附帶保證古德溫的計算結果是正確的,因為他得到《美國數學月刊》(American Mathematical Monthly)的認可,不過這本月刊乃是美國官方刊物,編輯部是應古德溫的要求而刊登其作品。所幸普渡大學數學教授華爾多(C. A. Waldo)對此事提出質疑,逼迫州上議會投票,才決議將此法條無限期擱置討論。
1998年8月,也傳出有位17歲的加拿大少年求出π值,理由是他以電腦求得的圓周率到第五兆個小數位後面都是0,因此π值是可以被除盡的。這名少年之所以得出這樣的結果,應該是沒有考慮到電腦也有容量限制,到第五兆位個小數後已經算不出來了。
正如洪萬生所說,數學不像蓋房子,以今天技術無法建造的房子,也許明天就有辦法解決;在數學領域裡,π既然已證明是無理數,就永遠不可能變成有理數,如果有人說他找到π的確切值,那一定是他哪裡出錯了!
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